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Eine `!temperierte Distribution`! ist ein Objekt aus der `F33f`_`[Distributionentheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Distributionentheorie]`_`f, einem mathematischen Teilgebiet der `F33f`_`[Funktionalanalysis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionalanalysis]`_`f. Eine temperierte Distribution ist ein Spezialfall einer `F33f`_`[Distribution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Distribution_(Mathematik)]`_`f. `F33f`_`[Laurent Schwartz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laurent_Schwartz]`_`f führte 1947 den Raum der temperierten Distributionen ein, um die `F33f`_`[Fourier-Transformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kontinuierliche_Fourier-Transformation]`_`f in seine Distributionentheorie integrieren zu können.

>>Contents

• `F0af`_`[Schwartz-Raum`#schwartz-raum]`_`f

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Gelfandsches Raumtripel`#gelfandsches-raumtripel]`_`f

• `F0af`_`[Fourier-Transformation`#fourier-transformation]`_`f

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel`#beispiel]`_`f

• `F0af`_`[Fourier-Laplace-Transformation`#fourier-laplace-transformation]`_`f

• `F0af`_`[Laplace-Transformation`#laplace-transformation]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

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>>Schwartz-Raum

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Hauptartikel

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Schwartz-Raum

Um temperierte Distributionen definieren zu können, wird zuerst der Raum der `*schnell fallenden Funktionen`* erläutert. Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und streben im Unendlichen so schnell gegen null, dass sie und alle ihre Ableitungen schneller als jede `F33f`_`[Polynomfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polynomfunktion]`_`f fallen. Die Menge all dieser Funktionen wird auch als `*Schwartz-Raum`* S ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})} bezeichnet und ist durch

S ( R n ) = { ϕ ϕ ∈ ∈ C ∞ ∞ ( R n ) | ∀ ∀ α α ∈ ∈ N 0 n , β β ∈ ∈ N 0 n ∃ ∃ C ≥ ≥ 0 : sup x ∈ ∈ R n | x α α D β β ϕ ϕ ( x ) | ≤ ≤ C } {\\displaystyle {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})=\\{\\phi \\in C^{\\infty }(\\mathbb {R} ^{n})\\,|\\,\\forall \\alpha \\in \\mathbb {N} _{0}^{n},\\beta \\in \\mathbb {N} _{0}^{n}\\;\\exists C\\geq 0:\\;\\sup _{x\\in \\mathbb {R} ^{n}}|x^{\\alpha }D^{\\beta }\\phi (x)|\\leq C\\}}

definiert. Durch die `F33f`_`[Halbnormen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Halbnorm]`_`f

‖ ‖ f ‖ ‖ N = sup x ∈ ∈ R n max | α α | , | β β | < N | x α α D β β f ( x ) | {\\displaystyle \\|f\\|_{N}=\\sup _{x\\in \\mathbb {R} ^{n}}\\max _{|\\alpha |,\\,|\\beta |<N}|x^{\\alpha }D^{\\beta }f(x)|}

wird der Schwartz-Raum zu einem `F33f`_`[metrisierbaren lokalkonvexen Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Metrisierbarer_lokalkonvexer_Raum]`_`f. Die Besonderheit dieses Raumes ist, dass die `F33f`_`[Fourier-Transformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kontinuierliche_Fourier-Transformation]`_`f ein `F33f`_`[Automorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Automorphismus]`_`f auf diesem ist. Außerdem ist der Raum in allen `F33f`_`[Sobolew-Räumen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sobolew-Raum]`_`f enthalten. Der Raum D ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {D}}(\\mathbb {R} ^{n})} der `F33f`_`[Testfunktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Testfunktion]`_`f lässt sich `F33f`_`[stetig`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stetige_Abbildung]`_`f in den Schwartz-Raum `F33f`_`[einbetten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einbettung_(Mathematik)]`_`f und liegt in diesem `F33f`_`[dicht`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dichte_Teilmenge]`_`f.

>>Definition

Eine temperierte Distribution ist ein stetiges, `F33f`_`[lineares`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f `F33f`_`[Funktional`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktional]`_`f auf dem Schwartz-Raum, also eine stetige lineare Abbildung S ( R n ) → → C {\\displaystyle {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})\\to \\mathbb {C} } . Da die Menge der temperierten Distributionen der Definition nach den topologischen `F33f`_`[Dualraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dualraum]`_`f von S ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})} bildet, wird dieser Raum mit S ′ ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n})} notiert. Aufgrund dieser Dualität spricht man auch von den langsam wachsenden Distributionen im Gegensatz zu den schnell fallenden Funktionen.

>>Beispiele

• Die Klasse der Distributionen mit kompaktem Träger ist eine echte Untermenge des Raums der temperierten Distributionen. Ein Beispiel einer Distribution mit kompaktem Träger ist die `F33f`_`[Delta-Distribution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Delta-Distribution]`_`f.

• `F33f`_`[Dirac-Kamm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirac-Kamm]`_`f

• Alle Distributionen, die durch eine `F33f`_`[Polynomfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polynomfunktion]`_`f erzeugt werden, sind temperierte Distributionen. Ist P {\\displaystyle P} also eine Polynomfunktion, dann ist das stetige Funktional

S ( R ) ∋ ∋ ϕ ϕ ↦ ↦ ∫ ∫ R P ( x ) ϕ ϕ ( x ) d x {\\displaystyle {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} )\\ni \\phi \\mapsto \\int _{\\mathbb {R} }P(x)\\phi (x)\\mathrm {d} x}

eine temperierte Distribution. Diese Distributionen sind im Gegensatz zur Delta-Distribution beziehungsweise zum Dirac-Kamm `F33f`_`[reguläre Distributionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reguläre_Distribution]`_`f.

>>Gelfandsches Raumtripel

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Hauptartikel

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Gelfand-Tripel

Der Schwartz-Raum S ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})} liegt dicht im `F33f`_`[Hilbertraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertraum]`_`f H = L 2 ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {H}}=L^{2}(\\mathbb {R} ^{n})} der `F33f`_`[quadratintegrierbaren Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quadratintegrierbar]`_`f. Aus diesem Grund gilt für ihre Dualräume die Inklusion ( L 2 ( R n ) ) ′ ⊂ ⊂ S ′ ( R n ) {\\displaystyle (L^{2}(\\mathbb {R} ^{n}))'\\subset {\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n})} und aus dem `F33f`_`[Satz von Riesz-Fischer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_von_Riesz-Fischer]`_`f folgt L 2 ( R n ) ≅ ≅ ( L 2 ( R n ) ) ′ . {\\displaystyle L^{2}(\\mathbb {R} ^{n})\\cong (L^{2}(\\mathbb {R} ^{n}))'.} Dies führt insgesamt zu der Inklusion

S ( R n ) ⊂ ⊂ L 2 ( R n ) ↪ ↪ S ′ ( R n ) . {\\displaystyle {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})\\subset L^{2}(\\mathbb {R} ^{n})\\hookrightarrow {\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n}).}

Die stetige `F33f`_`[Einbettung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einbettung_(Mathematik)]`_`f i : : L 2 ( R n ) ↪ ↪ S ′ ( R n ) {\\displaystyle i\\colon L^{2}(\\mathbb {R} ^{n})\\hookrightarrow {\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n})} ist die normale Identifizierung einer Funktion mit einer Distribution. Das heißt, i {\\displaystyle i} ist die Abbildung

f ∈ ∈ L 2 ( R n ) ↦ ↦ ( ϕ ϕ ∈ ∈ S ( R n ) ↦ ↦ ∫ ∫ R n f ( x ) ϕ ϕ ( x ) d x ) {\\displaystyle f\\in L^{2}(\\mathbb {R} ^{n})\\mapsto \\left(\\phi \\in {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})\\mapsto \\int _{\\mathbb {R} ^{n}}f(x)\\phi (x)\\mathrm {d} x\\right)} .

Das Paar ( S ( R n ) , L 2 ( R n ) ) {\\displaystyle ({\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\\mathbb {R} ^{n}))} ergibt ein Beispiel für einen erweiterten Hilbertraum, beziehungsweise das Tripel ( S ( R n ) , L 2 ( R n ) , S ′ ( R n ) ) {\\displaystyle \\left({\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\\mathbb {R} ^{n}),{\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n})\\right)} ein Beispiel für ein `F33f`_`[gelfandsches Raumtripel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gelfandsches_Raumtripel]`_`f (nach `F33f`_`[Israel Gelfand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Israel_Gelfand]`_`f). In allen drei Räumen ist die Fourier-Transformation ein `F33f`_`[Automorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Automorphismus]`_`f.

Zu den Werten λ λ ∈ ∈ σ σ c ( A ) {\\displaystyle \\lambda \\in \\sigma _{c}\\left(A\\right)} im kontinuierlichen Anteil des `F33f`_`[Spektrums`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektrum_(Operatortheorie)]`_`f eines `F33f`_`[Operators`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linearer_Operator]`_`f A {\\displaystyle A} auf L 2 {\\displaystyle L^{2}} existieren, anders als zu den `F33f`_`[Eigenwerten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenwert]`_`f λ λ ∈ ∈ σ σ p ( A ) {\\displaystyle \\lambda \\in \\sigma _{p}\\left(A\\right)} (also den Werten des Punktspektrums), keine Eigenfunktionen in L 2 {\\displaystyle L^{2}} . Es können aber Distributionen T ∈ ∈ S ′ {\\displaystyle T\\in {\\mathcal {S}}'} existieren, die an deren Stelle die Eigenwertgleichung λ λ T = A T {\\displaystyle \\lambda T=AT} in S ′ {\\displaystyle {\\mathcal {S}}'} erfüllen. Weitere Einzelheiten finden sich in Band III der unter `F33f`_`[Literatur`#literatur]`_`f angegebenen Bücher von Gelfand. In der Anwendung auf die `F33f`_`[Quantenmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenmechanik]`_`f bedeutet das, dass der Raum S ′ {\\displaystyle {\\mathcal {S}}'} beispielsweise „Eigenfunktionen“ des `F33f`_`[Orts-`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ortsoperator]`_`f oder `F33f`_`[Impulsoperators`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Impulsoperator]`_`f enthält (in der Standard-Darstellung sind dies `F33f`_`[δ-Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Delta-Distribution]`_`f bzw. `F33f`_`[ebene Wellen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ebene_Welle]`_`f), die nicht in L 2 ( R 3 ) {\\displaystyle L^{2}(\\mathbb {R} ^{3})} enthalten sind, weil das Integral über ihr `F33f`_`[Betragsquadrat`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Betragsquadrat]`_`f divergiert.

>>Fourier-Transformation

>>>Definition

Sei u ∈ ∈ S ′ ( R n ) {\\displaystyle u\\in {\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n})} eine temperierte Distribution, die `F33f`_`[Fourier-Transformierte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kontinuierliche_Fourier-Transformation]`_`f F ( u ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(u)} ist für alle ϕ ϕ ∈ ∈ S ( R n ) {\\displaystyle \\phi \\in {\\mathcal {S}}(\\mathbb {R} ^{n})} definiert durch

F ( u ) ( ϕ ϕ ) := u ( F ( ϕ ϕ ) ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(u)(\\phi ):=u({\\mathcal {F}}(\\phi ))} .

In diesem Kontext ist die Fourier-Transformation auf Funktionen durch F ( ϕ ϕ ) ( ξ ξ ) = ∫ ∫ R n e − − i ⟨ ⟨ x , ξ ξ ⟩ ⟩ ϕ ϕ ( x ) d x {\\displaystyle \\textstyle {\\mathcal {F}}(\\phi )(\\xi )=\\int _{\\mathbb {R} ^{n}}e^{-\\mathrm {i} \\langle x,\\xi \\rangle }\\phi (x)\\mathrm {d} x} definiert. Es gibt auch eine andere Konvention für die Fourier-Transformation mit dem Vorfaktor 1 ( 2 π π ) n / 2 {\\displaystyle {\\tfrac {1}{(2\\pi )^{n/2}}}} . Diese wird in diesem Artikel aber nicht verwendet.

>>>Eigenschaften

Man stattet die Menge S ′ ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n})} mit der `F33f`_`[Schwach-*-Topologie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schwach-*-Topologie]`_`f aus. Dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, `F33f`_`[bijektive Abbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bijektive_Funktion]`_`f auf S ′ ( R n ) {\\displaystyle {\\mathcal {S}}'(\\mathbb {R} ^{n})} . Das Fourier-Urbild von F ( u ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(u)} berechnet sich mit der Formel

u ( ϕ ϕ ) ( − − x ) = 1 ( 2 π π ) n F ( F ( u ) ) ( ϕ ϕ ) ( x ) . {\\displaystyle u(\\phi )(-x)={\\frac {1}{(2\\pi )^{n}}}{\\mathcal {F}}({\\mathcal {F}}(u))(\\phi )(x).}

>>>Beispiel

• Sei a ∈ ∈ R n {\\displaystyle a\\in \\mathbb {R} ^{n}} und δ δ a ∈ ∈ S ′ ( R n ) {\\displaystyle \\delta _{a}\\in S'(\\mathbb {R} ^{n})} die `F33f`_`[Deltadistribution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Deltadistribution]`_`f zum Punkt a {\\displaystyle a} . Für die Fourier-Transformation gilt dann

F ( δ δ a ) ( ϕ ϕ ) = δ δ a ( F ( ϕ ϕ ) ) = F ( ϕ ϕ ) ( a ) = ∫ ∫ R n e − − i a x ϕ ϕ ( x ) d x {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(\\delta _{a})(\\phi )=\\delta _{a}({\\mathcal {F}}(\\phi ))={\\mathcal {F}}(\\phi )(a)=\\int _{\\mathbb {R} ^{n}}e^{-\\mathrm {i} ax}\\phi (x)\\mathrm {d} x} .

Also entspricht F ( δ δ a ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(\\delta _{a})} der von x ↦ ↦ e − − i a x {\\displaystyle x\\mapsto e^{-\\mathrm {i} ax}} erzeugten Distribution. Im Fall a = 0 {\\displaystyle a=0} entspricht also F ( δ δ 0 ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(\\delta _{0})} der von 1 {\\displaystyle 1} erzeugten Distribution. Verwendet man bei der Fourier-Transformation noch den Vorfaktor 1 ( 2 π π ) n / 2 {\\displaystyle {\\tfrac {1}{(2\\pi )^{n/2}}}} dann ist das Ergebnis des Beispiels die Distribution, die von 1 ( 2 π π ) n / 2 {\\displaystyle {\\tfrac {1}{(2\\pi )^{n/2}}}} erzeugt wird.

• Sei nun T 1 ( ϕ ϕ ) = ∫ ∫ R n 1 ⋅ ⋅ ϕ ϕ ( x ) d x {\\displaystyle \\textstyle T_{1}(\\phi )=\\int _{\\mathbb {R} ^{n}}1\\cdot \\phi (x)\\mathrm {d} x} die von der konstanten Eins-Funktion erzeugte Distribution. Der naheliegende Ansatz, den Ausdruck F ( T 1 ) ( ϕ ϕ ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(T_{1})(\\phi )} zu berechnen, scheitert, da er auf ein nicht absolut konvergentes Integral führt. Zum Lösen benötigt man obiges Beispiel und einen kleinen Trick. Es gilt

F ( T 1 ) ( ϕ ϕ ) = F ( F ( δ δ 0 ) ) ( ϕ ϕ ) = δ δ 0 ( F ( F ( ϕ ϕ ) ) ) = ( 2 π π ) n δ δ 0 ( ϕ ϕ ) ( − − x ) = ( 2 π π ) n ϕ ϕ ( 0 ) = ( 2 π π ) n δ δ 0 ( ϕ ϕ ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(T_{1})(\\phi )={\\mathcal {F}}({\\mathcal {F}}(\\delta _{0}))(\\phi )=\\delta _{0}({\\mathcal {F}}({\\mathcal {F}}(\\phi )))=(2\\pi )^{n}\\delta _{0}(\\phi )(-x)=(2\\pi )^{n}\\phi (0)=(2\\pi )^{n}\\delta _{0}(\\phi )}

und somit F ( T 1 ) = ( 2 π π ) n δ δ 0 . {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(T_{1})=(2\\pi )^{n}\\delta _{0}.}

>>>Fourier-Laplace-Transformation

In diesem Abschnitt wird die Fourier-Transformation nur für Distributionen mit kompaktem Träger betrachtet. Da die Fourier-Transformation in diesem Kontext besondere Eigenschaften hat, nennt man sie dann Fourier-Laplace-Transformation. Sei u ∈ ∈ E ′ ( R n ) {\\displaystyle u\\in {\\mathcal {E}}'(\\mathbb {R} ^{n})} also eine `F33f`_`[Distribution mit kompaktem Träger`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Distribution_mit_kompaktem_Träger]`_`f. Dann ist die Laplace-Fourier-Transformation durch

u ^ ^ ( ξ ξ ) := u ( e − − i ⟨ ⟨ ⋅ ⋅ , ξ ξ ⟩ ⟩ ) {\\displaystyle {\\hat {u}}(\\xi ):=u(e^{-\\mathrm {i} \\langle \\cdot ,\\xi \\rangle })}

definiert. Dies ist `F33f`_`[wohldefiniert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wohldefiniertheit]`_`f, denn man kann zeigen, dass u ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {u}}} eine Funktion ist, welche sogar für alle ξ ξ ∈ ∈ C {\\displaystyle \\xi \\in \\mathbb {C} } `F33f`_`[analytisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Analytische_Funktion]`_`f – also `F33f`_`[ganz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ganze_Funktion]`_`f – ist. Außerdem stimmt diese Definition mit der obigen Definition überein, falls die Distributionen kompakten Träger haben. Welche ganzen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können, charakterisiert der `F33f`_`[Satz von Paley-Wiener`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_von_Paley-Wiener]`_`f.

>>Laplace-Transformation

Für temperierte Distributionen kann man ebenfalls eine `F33f`_`[Laplace-Transformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laplace-Transformation]`_`f definieren. Diese sieht ähnlich aus wie die Fourier-Laplace-Transformation aus dem vorigen Abschnitt. Sei u ∈ ∈ S ′ {\\displaystyle u\\in {\\mathcal {S}}'} eine temperierte Distribution mit Träger in [ 0 , ∞ ∞ [ {\\displaystyle [0,\\infty [} , dann ist die Laplace-Transformation L {\\displaystyle {\\mathcal {L}}} von u {\\displaystyle u} durch

L ( u ) ( ξ ξ ) := u ( e − − ⟨ ⟨ ⋅ ⋅ , ξ ξ ⟩ ⟩ ) {\\displaystyle {\\mathcal {L}}(u)(\\xi ):=u(e^{-\\langle \\cdot ,\\xi \\rangle })}

definiert. Das Resultat der Transformation ist ebenfalls wieder eine `F33f`_`[holomorphe Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Holomorphe_Funktion]`_`f, die für R e ( ξ ξ ) > 0 {\\displaystyle {\\mathfrak {Re}}(\\xi )>0} definiert ist (sich aber eventuell auf eine größere Menge analytisch fortsetzen lässt). Im Gegensatz zur Fourier-Laplace-Transformation ist die Laplace-Transformation auch für temperierte Distributionen definiert, die keinen kompakten Träger haben. Dies ist möglich, da das Abklingverhalten von e − − ⟨ ⟨ x , ξ ξ ⟩ ⟩ {\\displaystyle e^{-\\langle x,\\xi \\rangle }} besser ist als das des Fourier-Kerns e − − i ⟨ ⟨ x , ξ ξ ⟩ ⟩ {\\displaystyle e^{-\\mathrm {i} \\langle x,\\xi \\rangle }} .

>>Literatur

• `F33f`_`[Lars Hörmander`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lars_Hörmander]`_`f: `*The Analysis of Linear Partial Differential Operators.`* Band 1: `*Distribution Theory and Fourier Analysis.`* Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (`*Grundlehren der mathematischen Wissenschaften`* 256).

• `F33f`_`[Otto Forster`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Otto_Forster]`_`f, Joachim Wehler: `*Fourier-Transformation und Wavelets (PDF; 575 kB).`* 2001 (Skript).

• R. J. Beerends, H. G. ter Morsche, J. C. van den Berg, E. M. van de Vrie: `*Fourier and Laplace transforms.`* Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53441-3.

• `F33f`_`[Israel Gelfand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Israel_Gelfand]`_`f: `*Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen).`* VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).

• Band 1: I. M. Gelfand, `F33f`_`[G. E. Schilow`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Georgi_Jewgenjewitsch_Schilow]`_`f: `*Verallgemeinerte Funktionen und das Rechnen mit ihnen.`* 1960 (`*`F33f`_`[Hochschulbücher für Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hochschulbücher_für_Mathematik]`_`f`* 47, `F33f`_`[ISSN`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Internationale_Standardnummer_für_fortlaufende_Sammelwerke]`_`f 0073-2842);

• Band 2: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: `*Lineare topologische Räume, Räume von Grundfunktionen und verallgemeinerten Funktionen.`* 1962 (`*Hochschulbücher für Mathematik`* 48);

• Band 3: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: `*Einige Fragen zur Theorie der Differentialgleichungen.`* 1964 (`*Hochschulbücher für Mathematik`* 49);

• Band 4: I. M. Gelfand, `F33f`_`[N. J. Wilenkin`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Naum_Jakowlewitsch_Wilenkin]`_`f: `*Einige Anwendungen der harmonischen Analyse. Gelfandsche Raumtripel.`* 1964 (`*Hochschulbücher für Mathematik`* 50).

• Band 5: I. M. Gelfand, M. I. Graev: `*Integral geometry and representation theory`* 1966, Academic Press.

• Klaus-Heinrich Peters: `*Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen. Eine historische Untersuchung über die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik, Philosophie und Kunst.`* 2004 (Hamburg, Univ., Diss., 2003), online (PDF; 2,72 MB).

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